Loogikafunktsioonid (Boole’i funktsioonid)

Allikas: Teadmusbaas

Loogikafunktsioonid

n-muutujaga loogikafunktsioon f(x1, x2, x3, ..,xn) on vastavus n-muutujaga Boole’i ruumist {0,1}^n loogikaväärtuste hulka {0,1}:

Boole'i funktsioon.PNG    (1.1)

Kahe muutuja funktsioon näeks välja milline?

Tõeväärtustabelid näitavad funktsiooni väärtuste ja argumentide väärtuste vahelisi seoseid (neid oleme juba teinud)

Kolme muutuja funktsioon f(x1, x2, x3) on 8 elemendilise lähtehulgaga vastavus:

Boole'i funktsioon3.png

3-mõõtmeline Boole’i ruum sisaldab 2^3=8 erinevat 3-järgulist kahendvektorit: {0,1}^3= {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}, seega on 3-muutuja loogikafunktsiooni tõeväärtustabel samuti 8-realine. Olgu „lambifunktsiooni“ tõeväärtustabel järgmine, vt tabel 7:

Tabel 7. Funktsiooni tõeväärtustabel
x1 x2 x3 f(x1,x2,x3)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1

4-mõõtmeline Boole’i ruum sisaldab 16 erinevat kahendvektorit, 5-mõõtmeline 32 jne

Argumentvektor (kahendvektor) x1, x2, x3, .., xn ∈ {0,1}^n on loogikamuutujate „väärtuste komplekt“, mis esitab funktsiooni igale üksikule muutujale x1, x2, x3, .., xn omistatavat väärtust 0 või 1. Muutujate väärtustamisel omandab ka loogikafunktsioon väärtuse 0 või 1. (funktsioon seab argumentvektoriga vastavusse loogikaväärtuse 0 võ 1).

Kui mingi 3-muutuja funktsioon f(x1, x2, x3) väärtustub muutujate väärtuste x1=1, x2=0, x3=1 korral 0-ks, siis võib seda esitada kujul f(1,0,1) = 0.

Funktsiooni tõeväärtuspiirkonnad. Funktsiooni 1-de piirkonna V^1 ⊂ {0,1}^n moodustavad need argumentvektorid x1, x2, .., xn ∈ V^1, mille korral f(x1, x2, .., xn) = 1; Funktsiooni 0-de piirkonna V^0 ⊂ {0,1}^n moodustavad need argumentvektorid x1, x2, .., xn ∈ V^0, mille korral f(x1, x2, .., xn) = 0.

Mitteolulised muutujad. Funktsiooni mitteolulisele muutujale omistatud loogikaväärtus ei mõjuta kuidagi funktsiooni väärtust. Kui n-muutujaga funktsiooni mingi muutuja xi osutub mitteoluliseks, siis funktsioon on tegelikult (n-1)-muutuja funktsioon.

Osaliselt määratud loogikafunktsioonid. Funktsiooni määramispiirkonnaks võib olla ka ainult osa lähtehulga elementidest, sellisel juhul on tegemist osaliselt määratud funktsiooniga. Osaline määratus tähendab, et lähtehulgas leidub selliseid argumentvektoreid, milliste jaoks pole rangelt määratud, kumba loogikaväärtust 0 või 1 funktsioon nende korral omandama peab või peaks. Sellised argumentvektorid moodustavad funktsiooni määramatuspiirkonna V^- ⊂ {0,1}^n, osaliselt määratud funktsiooni näide on toodud tabelis 8

Tabel 8. Osaliselt määratud funktsiooni tõeväärtustabel
x1 x2 x3 f(x1,x2,x3)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 -
0 1 1 0
1 0 0 -
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1

Funktsiooni määramatuspiirkonna moodustavad 2 argumentvektorit V^- = {010 100}, kuna selline olukord põhjustab määramatust, siis kuulub selline olukord „lõpuni määramisele“, ehk sellelt minnakse üle täielikult määratud funktsioonidele, jaotades ta määramispiirkonna vabalt ära 1-de ja 0-de piirkonna vahel, selline olukord on näidatud tabelis 9.

Tabel 9. Täielikult määratud funktsioonid f1..f4, mis sobivad funktsiooni f() esitamiseks
x1 x2 x3 f() f1 f2 f3 f4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 - 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 0 - 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

Loogikafunktsioonide esituskujud

Tagasi